APLICAIONES DE LA ELIPSE

La elipse tiene propiedades de reflexión similares a la de la parábola, en este caso cuando colocamos un emisor de ondas en un foco, estas se reflejarán en las paredes de la elipse y convergerán en el otro foco. Con respecto a la elipse la aplicación primera que tenemos que mencionar es que las órbitas de los planetas son elipticas con el Sol en uno de los focos.

CALCULO DEL EJE SECUNDARIO

Llamando 2b al eje secundario, P al vértice superior, O al centro y F y F ' a los focos de la elipse, por el teorema de Pitágoras:
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Por definición de elipse,
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external image elipse47.gif
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external image elipse48.gif
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A la distancia b se le llama semieje secundario.

CARACTERISTICAS DE LA ELIPSE

La elípse no es una curva cualquiera, tiene unas características muy específicas: 1.- La suma de las distancias de cualquier punto ( X) de la curva a los focos es constante: XF + XF´=2·a 2.- El semieje mayor ( a) es igual a la distancia media (media aritmética) de un planeta al foco. La media de la distacia máxima y la mínima. La distancia media se da justo cuando el planeta está en P, a medio camino entre el Afelio y el Perihelio. R1+ R2=2·a; por tanto : a=(R1+ R2)/2 3.- El semieje menor ( b) es la media geométrica de la distancia máxima y mínima b=raiz cuadr.( R1·R2) 4.-La excentricidad (e) indica lo que se aparta la elipse de una circunferencia. Si el foco está en el cruce de los ejes e=0. En general e=c/ a. ( "c" es la distancia de los focos al centro de la elípse). ¿Cuánto vale la excentricidad de la circunferencia? 5.- Otras relaciones que conducen al cálculo de la ecuación de la elipse son: ||

||=
elipse
elipse
|| ||= elipse || ||= a2=b2+c2 R1- R2=2 c R1=a + c Ecuación cartesiana:
external image Imagen300.gif
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Ecuación en polares:
external image Imagen299.gif
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d es función de ( m, M, L,..)
|| =

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL DE LA ELIPSE

Dada una elipse de semieje mayor a y semieje menor b se llama circunferencia principal a la circunferencia auxiliar de radio a, cuyo diámetro es el eje mayor de la elipse. Para una misma abcisa x las ordenadas de la elipse y y de la circunferencia yc guardan una relación de afinidad b/a.

||
frac {y} {y_c}=frac {b} {a}
frac {y} {y_c}=frac {b} {a}
|| || frac {y} {y_c}=frac {b} {a} ||

En efecto para el punto R de la circunferencia se cumple:

||
y_c=sqrt{a^2-x^2}
y_c=sqrt{a^2-x^2}
|| || y_c=sqrt{a^2-x^2} ||

Su homólogo el punto S de la elipse cumple:

||
y=frac {b} {a}timessqrt{a^2-x^2}
y=frac {b} {a}timessqrt{a^2-x^2}
|| || y=frac {b} {a}timessqrt{a^2-x^2} ||

Basta dividir ambas expresiones para obtener la relación de afinidad.

CONSTANTE DE LA ELIPSE En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual la longitud del «eje mayor».
external image Ellipse_Animation_Small.gif
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En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual la longitud del «eje mayor». En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco

||
 ,  {F_1}
, {F_1}
|| || , {F_1} ||

al punto

||
 , {Q}
, {Q}
|| || , {Q} ||

(ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco

||
 , {F_2}
, {F_2}
|| || , {F_2} ||

a ese mismo punto

||
 , {Q}
, {Q}
|| || , {Q} ||

. (El segmento de color azul sumado al de color rojo). El segmento correspondiente, tanto trazo

||
 ,  {QF_1}
, {QF_1}
|| || , {QF_1} ||

(color azul), como al

||
 , {QF_2}
, {QF_2}
|| || , {QF_2} ||

(color rojo), se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro .

||
 ,  {0}
, {0}
|| || , {0} ||

En la animación, el punto

||
 , Q
, Q
|| || , Q ||

recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo).

​ CONSTRUCCION DE UNA ELIPSE

=
external image fig6.2.6.gif
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external image fig6.2.7.gif
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DEFINICION DE LA ELIPSE Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad. Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a, ||
F1
F1
|| || F1 || y ||
F2
F2
|| || F2 || , es constante. Veamos sus elementos en los siguiente dibujos: ||
Imagen:elipse2.png
Imagen:elipse2.png
|| || Imagen:elipse2.png ||

||
Imagen:elipse4.png
Imagen:elipse4.png
|| || Imagen:elipse4.png || Los puntos fijos ||
F1
F1
|| || F1 || y ||
F2
F2
|| || F2 || se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos. Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento ||
overline{F1F2}
overline{F1F2}
|| || overline{F1F2} || . El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.
=